回答ありがとうございます。
1.についてご確認します。
IEとFirefoxを利用しているのですが、チェックというのはavastをインストールするとプラウザに作成される
緑色の線の丸のようなボタンをクリックし、「このサイトは安全です」と表示が表れ、
その下のほうにある設定をクリックすると、「アバスト! オンラインセキュリティ の設定」が新しいタブに開き、
下から二番目にある「セーフゾーン」の項目の左のチェックのことでしょうか?
IEではチェックがされていても、セーフゾーンに切り替われませんでした。
Firefoxの場合は「このサイトは安全です」と表示が表れるのですが、その下にある設定をクリックしても無反応です。
ただし、その左にあるマイページは反応し、クリックすると「Sign in to avast! Account」が新しいタブに開きます。
2.ついては、私のPCでNON様のコメントのように動作を行ったところ、「ツール」から起動したほうがセーフゾーンの設定が保存されている頻度が高く
(必ず設定が保存されてはいない)、「タスクバー」から起動したときはセーフゾーンの設定が保存されていることはありませんでした。
私が気になっているのは、この件についてサポートに問い合わせしたとき、サポート側ではこのような「設定が保存されない現象」
は確認できないとメールで回答をもらいました。
サポートで確認できないが現象が起きていて、avastのインストールが正しくされているのか、
セキュリティソフトの機能は正しく働いているのか不安があります。
今回、OSをクリーンインストールしても同じ現象が出て、更に不安です。

また、何か解決方法があればご教示ください。