ファイアウォールと言うことは、インターネットセキュリティ版あるいはプレミア版でしょうか?
ファイアウォールを止めると、当然ファイアウォールの機能は停止してしまいますが、Windows ファイアウォールが有効なら、最低限のところはなんとか・・・。
Windows のアクションセンターから、Windows ファイアウォールが有効かを確認して、有効ならとりあえず大丈夫でしょう。
なぜインターネット接続に問題が出るかはわかりませんが・・・修復でも試してみますか?
コントロールパネル -> プログラムと機能 -> Avast Internet Security または Avast Premier -> 変更 -> 修復 -> 次へ
です。