こんばんは terasawa.nobuhiko さん
Restore メールの再送は技術的に不可能であるとのことなので、他の方法を考えるしかありません。
他のPCやデバイスとの同期の場合、既に認証されたデバイス(最初にAvast Passwordをセットアップしたデバイス、既に認証して同期されているデバイスなど)があれば、そちらから認証を行うことが可能です。
両方の機器の電源を入れてインターネットに接続した状態で、同期したい機器から同期要求を送れば、下記FAQ(項番4)にあるような同期を許可するかどうかの選択画面が表示されます。
ここで同期を許可すれば、そのデバイスは認証され、同期が実施されます。
FAQは英語ですが、画像のイメージはつかめると思います。
Synchronize subsequent devices
https://www.avast.com/faq.php?article=AVKB255#idt_02認証されたデバイスにアクセスできず、Restore メールもない場合、復旧は不可能です。